Összetett oszthatósági szabályok

Összetett szabálynak azokat nevezzük, melyeket két másik oszthatósági szabály felhasználásával hozunk létre. Ezekhez olyan szabályokat kell keresnünk, melyek egymástól függetlenek, és a számok szorzata a létrehozandó szabály számával egyenlő.

Szabályok

6-tal azok a természetes számok oszthatók, melyek oszthatók 2-vel és 3-mal is.
pl.: 384 – > páros, tehát osztható 2-vel, és a számjegyek összege 15, tehát osztható 3-mal is. Tehát osztható 6-tal.

12-vel azok a természetes számok oszthatók, melyek oszthatók 3-mal és 4-gyel is.
Ennél nem lenne jó a 2-vel és a 6-tal való oszthatóság, mert ezek nem függetlenek egymástól. (pl. a 18 osztható 2-vel és 6-tal, de nem osztható 12-vel)

15-tel azok a természetes számok oszthatók, melyek oszthatók 3-mal és 5-tel.

18-cal azok a természetes számok oszthatók, melyek oszthatók 2-vel és 9-cel is.
A 3-mal és a 6-tal való oszthatóság ennél nem jó, mert pl. a 24 osztható 3-mal és 6-tal, de nem osztható 18-cal.

A fenti példák alapján szinte minden szám oszthatósági szabályát meg lehetne fogalmazni.

Egyszerű oszthatósági szabályok

Szabályok

2-vel azok a természetes számok oszthatók, melyek utolsó számjegye 0; 2; 4; 6; 8, azaz a páros számok.

3-mal azok a természetes számok oszthatók, melyek számjegyeinek összege osztható 3-mal.
pl.: 3975 -> 3 + 9 + 7 + 5 = 24,    24 : 3 = 8, maradék nulla, tehát a 3975 osztható 3-mal.
8495 -> 8 + 4 + 9 + 5 = 26,  26 : 3 = 8, maradék a 2, tehát a 8495 nem osztható 3-mal

4-gyel azok a természetes számok oszthatók, melyek utolsó két számjegyéből álló szám osztható 4-gyel.
pl.: 7932 -> 32 : 4 = 8, maradék nulla, tehát a 7932 osztható 4-gyel
4926 -> 26 : 4 = 6, maradék a 2, tehát a 4926 nem osztható 4-gyel

5-tel azok a természetes számok oszthatók, melyek utolsó számjegye 0; 5.

8-cal azok a természetes számok oszthatók, melyek utolsó 3 számjegyéből álló szám osztható 8-cal.
pl.: 9128 -> 128 : 8 = 16, maradék a nulla, tehát a 9128 osztható 8-cal
7396 -> 396 : 8 = 49, maradék a 4, tehát a 7396 nem osztható 8-cal

9-cel azok a természetes számok oszthatók, melyek számjegyeinek összege osztható 9-cel.
pl.: 6975 -> 6 + 9 + 7 + 5 = 27,    27 : 9 = 3, maradék nulla, tehát a 6975 osztható 9-cel.
7495 -> 7 + 4 + 9 + 5 = 25,  25 : 9 = 2, maradék a 7, tehát a 7495 nem osztható 9-cel

10-zel azok a természetes számok oszthatók, melyek utolsó számjegye 0.

100-zal azok a természetes számok oszthatók, melyek utolsó két számjegye 0.

Teszt

Jelöld be, hogy mely számmal vagy számokkal osztható a 777.777!

 
 
 
 
 
 

Jelöld be, hogy mely számmal vagy számokkal osztható a 9345!

 
 
 
 
 
 

Jelöld be, hogy mely számmal vagy számokkal osztható a 835.956!

 
 
 
 
 
 

Question 1 of 3

Hány osztója van?

Osztók száma

Az alábbi táblázat néhány szám osztóit, és az osztók számát tartalmazza:

A számA szám osztóiOsztók száma
111
21; 2;2
31; 3;2
41; 2; 4;3
51; 5;2
61; 2; 3; 6;4
71; 7;2
81; 2; 4; 8;4
91; 3; 9;3

A fentiek alapján a számokat 3 csoportba oszthatjuk.

        • amelyiknek csak 1 osztója van (ez a szám az 1)
        • amelyiknek 2 osztója van (ezek a 2; 3; 5, 7)
        • amelyiknek 2-nél több osztója van (ezek a 4; 6; 8; 9)

Azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van, prímszámoknak (vagy másképp törzsszámoknak) nevezzük.
Érdemes megjegyezni a prímszámokat 30-ig, mert a későbbiek során szükség lesz rá: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29;
Az egyetlen páros prímszám a 2!

Azokat a természetes számokat, melyeknek 2-nél több osztójuk van, összetett számoknak nevezzük. (pl. 4; 6; 8; 9;…)

Az 1 nem prím és nem is összetett szám!

Számolás maradékokkal

Maradékok meghatározása oszhatósággal

Kettes maradék: azaz mennyi lehet a maradék, ha 2-vel osztunk.

        • lehet 0: páros számok esetén
        • lehet 1: páratlan számok esetén

Hármas maradék: azaz mennyi lehet a maradék, ha 3-mal osztunk.

        • lehet 0: ha a számjegyek összege 3-nak a többszöröse
        • lehet 1: ha a számjegyek összegét 3-mal elosztva 1-et kapunk maradékul
          pl.: 349 -> 3 + 4 + 9 = 16,     16 : 3 = 5, maradék 1
        • lehet 2: ha a számjegyek összegét 3-mal elosztva 2-t kapunk maradékul
          pl.: 527 -> 5 + 2 + 7 = 14,    14 : 3 = 4, maradék 2

Négyes maradék: azaz mennyi lehet a maradék, ha 4-gyel osztunk.

        • lehet 0: ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4-gyel
          pl.: 3484 -> 84 : 4 = 21, maradék a 0
        • lehet 1: ha az utolsó két számjegyből álló számot 4-gyel elosztva 1 a maradék
          pl.: 9729 -> 29 : 4 = 7, maradék az 1
        • lehet 2: ha az utolsó két számjegyből álló számot 4-gyel elosztva 2 a maradék
          pl.: 7534 -> 34 : 4 = 8, maradék a 2
        • lehet 3: ha az utolsó két számjegyből álló számot 4-gyel elosztva 3 a maradék
          pl.: 5967 -> 67 : 4 = 16, maradék a 3

A fenti eljárást bármely ismert oszthatósági szabály esetén tudjuk alkalmazni, és meg tudjuk határozni a maradékot.

Teszt

Please go to Számolás maradékokkal to view the test

Ha egy folyamat szabályos periódusonként ismétlődik, akkor a folyamat egyes eseményei az oszthatósági maradékok alapján kiszámolhatók.

      1. Ha ma szombat van, akkor 65 nap múlva milyen nap lesz?

        A napok 7 naponként ismétlődnek, tehát a hetes maradék segít a feladat megoldásában.
        65 : 7 = 9, maradék a 2.
        Tehát 9 teljes hét telik el, és a szombat utáni 2. nap lesz a feladat megoldása, azaz hétfő.

      2. Ha 20 db magyar zászlót egymás mellé fektetünk úgy, hogy a sávok egymással párhuzamosak legyenek, akkor a 17. sáv milyen színű lesz?

        A sávok 3 szinenként ismétlődnek, tehát a hármas maradék segít a feladat megoldásában.
        17 : 3 = 5, maradék a 2.
        Tehát az 5 teljes zászló utáni 2. sáv, azaz a fehér.

      3. A hét törpe fényképét 10 példányban egymás mellé tesszük. A törpék névsor szerint egy vonalban állnak, így egy hosszú sort kapunk. Melyik törpe lesz a 45. helyen?

        45 : 7 = 6, maradék 3, tehát 6 teljes sor után a 3. törpe lesz az, azaz Morgó.

Osztó, többszörös

Ismétlés

A 20-nak osztója a 4, mert ha a 20-at elosztjuk 4-gyel, akkor a maradék nulla.

A 20 a 4-nek többszöröse, mert a 4-et meg tudjuk szorozni egy számmal úgy, hogy 20 legyen a szorzat.

Szabályok

        • A nullával való osztásnak nincs értelme!
        • Minden szám osztható önmagával, és 1-gyel
        • Minden számnak többszöröse a nulla és önmaga
        • Minden számnak végtelen sok többszöröse van

Please go to Osztó, többszörös to view the test

Osztópárok

A 20-nak a 4 és az 5 osztópárja, mert 4 · 5 = 20

Egy pozitív egész szám osztói közül azokat a párokat, amelyek szorzata egyenlő a számmal, osztópároknak nevezzük.

Learning Apps feladat

Teszt

Please go to Osztó, többszörös to view the test

Az egész számok osztása

A hányados előjele

A szorzásnál tanultakat alkalmazzuk az alábbi szorzásoknál, valamint azt, hogy a szorzás és az osztás egymás ellentett műveletei.

Ha (+5) · (+3) = +15, akkor (+15) : (+3) = +5
Ha (+5) · (–3) = –15, akkor (–15) : (–3) = +5
Ha (–5) · (+3) = –15, akkor (–15) : (+3) = –5
Ha (–5) · (–3) = +15, akkor (+15) : (–3) = –5

Tapasztalat: Azonos előjelű számok hányadosa pozitív, különböző előjelű számok hányadosa negatív előjelű.

Teszt

Please go to Az egész számok osztása to view the test

Learning Apps feladat