Hatványozás azonosságai

Ismétlés

35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243

hatványalap: 3 (megmutatja, hogy melyik számot kell önmagával összeszorozni)
hatványkitevő: 5 (megmutatja, hogy az alapot hányszor kell önmagával összeszorozni)
hatványérték: 243
szorzatalak: 3 · 3 · 3 · 3 · 3

Minden szám nulladik hatványa 1-gyel egyenlő. (50 = 1)
Minden szám első hatványa önmagával egyenlő. (171 = 17)

Azonos alapú hatványok szorzata

azonos alapú hatványok szorzata

Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk össze, hogy a kitevőket összeadjuk, az alap pedig változatlan marad.

Azonos alapú hatványok hányadosa

azonos alapú hatványok hányadosa

Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy az osztandó kitevőjéből kivonjuk az osztó kitevőjét, az alap pedig változatlan marad.

Hatvány hatványa

hatvány hatványa

Hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeszorozzuk, és az alap nem változik.

Szorzat hatványa

szorzat hatványa

Szorzatot úgy is hatványozhatunk, hogy a tényezőket külön-külön hatványozzuk, és a kapott hatványértékeket összeszorozzuk.

(5 · 4)2 = 202

A másik lehetőség, hogy a tényezőket összeszorozzuk, és a kapott szorzatot hatványozzuk.

Tört hatványa

tört hatványa

Törtet úgy hatványozunk, hogy a számlálót és a nevezőt külön-külön hatványozzuk.

Teszt

Válaszd ki, hogy melyik hatványalakkal egyenlő az alábbi művelet eredménye!

(95)3 =

 
 
 

Jelöld be, hogy melyik hatványalakkal egyenlő az alábbi művelet eredménye!

137 : 134 =

 
 

Válaszd ki, hogy melyik hatványalakkal egyenlő az alábbi művelet!

75 · 73 · 7 =

 
 

Question 1 of 3

Összetett oszthatósági szabályok

Összetett szabálynak azokat nevezzük, melyeket két másik oszthatósági szabály felhasználásával hozunk létre. Ezekhez olyan szabályokat kell keresnünk, melyek egymástól függetlenek, és a számok szorzata a létrehozandó szabály számával egyenlő.

Szabályok

6-tal azok a természetes számok oszthatók, melyek oszthatók 2-vel és 3-mal is.
pl.: 384 – > páros, tehát osztható 2-vel, és a számjegyek összege 15, tehát osztható 3-mal is. Tehát osztható 6-tal.

12-vel azok a természetes számok oszthatók, melyek oszthatók 3-mal és 4-gyel is.
Ennél nem lenne jó a 2-vel és a 6-tal való oszthatóság, mert ezek nem függetlenek egymástól. (pl. a 18 osztható 2-vel és 6-tal, de nem osztható 12-vel)

15-tel azok a természetes számok oszthatók, melyek oszthatók 3-mal és 5-tel.

18-cal azok a természetes számok oszthatók, melyek oszthatók 2-vel és 9-cel is.
A 3-mal és a 6-tal való oszthatóság ennél nem jó, mert pl. a 24 osztható 3-mal és 6-tal, de nem osztható 18-cal.

A fenti példák alapján szinte minden szám oszthatósági szabályát meg lehetne fogalmazni.

Egyszerű oszthatósági szabályok

Szabályok

2-vel azok a természetes számok oszthatók, melyek utolsó számjegye 0; 2; 4; 6; 8, azaz a páros számok.

3-mal azok a természetes számok oszthatók, melyek számjegyeinek összege osztható 3-mal.
pl.: 3975 -> 3 + 9 + 7 + 5 = 24,    24 : 3 = 8, maradék nulla, tehát a 3975 osztható 3-mal.
8495 -> 8 + 4 + 9 + 5 = 26,  26 : 3 = 8, maradék a 2, tehát a 8495 nem osztható 3-mal

4-gyel azok a természetes számok oszthatók, melyek utolsó két számjegyéből álló szám osztható 4-gyel.
pl.: 7932 -> 32 : 4 = 8, maradék nulla, tehát a 7932 osztható 4-gyel
4926 -> 26 : 4 = 6, maradék a 2, tehát a 4926 nem osztható 4-gyel

5-tel azok a természetes számok oszthatók, melyek utolsó számjegye 0; 5.

8-cal azok a természetes számok oszthatók, melyek utolsó 3 számjegyéből álló szám osztható 8-cal.
pl.: 9128 -> 128 : 8 = 16, maradék a nulla, tehát a 9128 osztható 8-cal
7396 -> 396 : 8 = 49, maradék a 4, tehát a 7396 nem osztható 8-cal

9-cel azok a természetes számok oszthatók, melyek számjegyeinek összege osztható 9-cel.
pl.: 6975 -> 6 + 9 + 7 + 5 = 27,    27 : 9 = 3, maradék nulla, tehát a 6975 osztható 9-cel.
7495 -> 7 + 4 + 9 + 5 = 25,  25 : 9 = 2, maradék a 7, tehát a 7495 nem osztható 9-cel

10-zel azok a természetes számok oszthatók, melyek utolsó számjegye 0.

100-zal azok a természetes számok oszthatók, melyek utolsó két számjegye 0.

Teszt

Please go to Egyszerű oszthatósági szabályok to view the test

Hány osztója van?

Osztók száma

Az alábbi táblázat néhány szám osztóit, és az osztók számát tartalmazza:

A számA szám osztóiOsztók száma
111
21; 2;2
31; 3;2
41; 2; 4;3
51; 5;2
61; 2; 3; 6;4
71; 7;2
81; 2; 4; 8;4
91; 3; 9;3

A fentiek alapján a számokat 3 csoportba oszthatjuk.

        • amelyiknek csak 1 osztója van (ez a szám az 1)
        • amelyiknek 2 osztója van (ezek a 2; 3; 5, 7)
        • amelyiknek 2-nél több osztója van (ezek a 4; 6; 8; 9)

Azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van, prímszámoknak (vagy másképp törzsszámoknak) nevezzük.
Érdemes megjegyezni a prímszámokat 30-ig, mert a későbbiek során szükség lesz rá: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29;
Az egyetlen páros prímszám a 2!

Azokat a természetes számokat, melyeknek 2-nél több osztójuk van, összetett számoknak nevezzük. (pl. 4; 6; 8; 9;…)

Az 1 nem prím és nem is összetett szám!

Számolás maradékokkal

Maradékok meghatározása oszhatósággal

Kettes maradék: azaz mennyi lehet a maradék, ha 2-vel osztunk.

        • lehet 0: páros számok esetén
        • lehet 1: páratlan számok esetén

Hármas maradék: azaz mennyi lehet a maradék, ha 3-mal osztunk.

        • lehet 0: ha a számjegyek összege 3-nak a többszöröse
        • lehet 1: ha a számjegyek összegét 3-mal elosztva 1-et kapunk maradékul
          pl.: 349 -> 3 + 4 + 9 = 16,     16 : 3 = 5, maradék 1
        • lehet 2: ha a számjegyek összegét 3-mal elosztva 2-t kapunk maradékul
          pl.: 527 -> 5 + 2 + 7 = 14,    14 : 3 = 4, maradék 2

Négyes maradék: azaz mennyi lehet a maradék, ha 4-gyel osztunk.

        • lehet 0: ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4-gyel
          pl.: 3484 -> 84 : 4 = 21, maradék a 0
        • lehet 1: ha az utolsó két számjegyből álló számot 4-gyel elosztva 1 a maradék
          pl.: 9729 -> 29 : 4 = 7, maradék az 1
        • lehet 2: ha az utolsó két számjegyből álló számot 4-gyel elosztva 2 a maradék
          pl.: 7534 -> 34 : 4 = 8, maradék a 2
        • lehet 3: ha az utolsó két számjegyből álló számot 4-gyel elosztva 3 a maradék
          pl.: 5967 -> 67 : 4 = 16, maradék a 3

A fenti eljárást bármely ismert oszthatósági szabály esetén tudjuk alkalmazni, és meg tudjuk határozni a maradékot.

Teszt

Please go to Számolás maradékokkal to view the test

Ha egy folyamat szabályos periódusonként ismétlődik, akkor a folyamat egyes eseményei az oszthatósági maradékok alapján kiszámolhatók.

      1. Ha ma szombat van, akkor 65 nap múlva milyen nap lesz?

        A napok 7 naponként ismétlődnek, tehát a hetes maradék segít a feladat megoldásában.
        65 : 7 = 9, maradék a 2.
        Tehát 9 teljes hét telik el, és a szombat utáni 2. nap lesz a feladat megoldása, azaz hétfő.

      2. Ha 20 db magyar zászlót egymás mellé fektetünk úgy, hogy a sávok egymással párhuzamosak legyenek, akkor a 17. sáv milyen színű lesz?

        A sávok 3 szinenként ismétlődnek, tehát a hármas maradék segít a feladat megoldásában.
        17 : 3 = 5, maradék a 2.
        Tehát az 5 teljes zászló utáni 2. sáv, azaz a fehér.

      3. A hét törpe fényképét 10 példányban egymás mellé tesszük. A törpék névsor szerint egy vonalban állnak, így egy hosszú sort kapunk. Melyik törpe lesz a 45. helyen?

        45 : 7 = 6, maradék 3, tehát 6 teljes sor után a 3. törpe lesz az, azaz Morgó.

Osztó, többszörös

Ismétlés

A 20-nak osztója a 4, mert ha a 20-at elosztjuk 4-gyel, akkor a maradék nulla.

A 20 a 4-nek többszöröse, mert a 4-et meg tudjuk szorozni egy számmal úgy, hogy 20 legyen a szorzat.

Szabályok

        • A nullával való osztásnak nincs értelme!
        • Minden szám osztható önmagával, és 1-gyel
        • Minden számnak többszöröse a nulla és önmaga
        • Minden számnak végtelen sok többszöröse van

Please go to Osztó, többszörös to view the test

Osztópárok

A 20-nak a 4 és az 5 osztópárja, mert 4 · 5 = 20

Egy pozitív egész szám osztói közül azokat a párokat, amelyek szorzata egyenlő a számmal, osztópároknak nevezzük.

Learning Apps feladat

Teszt

Please go to Osztó, többszörös to view the test